正确答案 ：D

解析

周期问题。
解题重点：1.每隔N天=每N+1天；2.掌握最小公倍数周期的解题思路。
解题过程：甲部门每隔两天即每3天发布一次，乙部门每隔3天即每4天发布一次，3和4的最小公倍数为12，即甲、乙每12天同时发布一次消息。一个自然月最多31天，假设1日均为甲、乙部门发布日，剩余30天还可同时发布30÷12=2余6，即2次，则甲、乙两部门在一个自然月内最多有3天同时为发布日。
故本题答案为D项。